Question

证明导数存在

14的c 15的b 谢谢 如果在解释一下 什么时候导数存在 什么时候连续在加100， 我可不是说那种 左右相等就存在的那种 我要定义 导数和连续 和 极限存在区分的定义

Answer 1

函数在x=a连续：lim (x趋于a)f(x)=f(a)
在x=a导数存在：就是定义f'(a)=lim (x趋于a)[(f(x)-f(a))/(x-a)]存在

14C:：由b, |f(0)|《0 ，所以：f(0)=0.由导数定义：
f'(0)=lim(f(x)-f(0))/(x-0)=limf(x)/x
由于-x^2《f(x)《x^2 所以：-x《f(x)/x《x 由夹逼定理：
limf(x)/x=0 所以f(x)在x=0可导且f'(0)=0

15B：f(x)=|x|满足 |f(x)-f(y)|= ||x|-|y||《|x-y| 但f(x)=|x|在x=0不可导

追问

由于-x^2《f(x)《x^2 所以：-x《f(x)/x《x 由夹逼定理：
在你在这一句话里你直接除以 X 你怎么能确定X是正是负呢

追答

有道理
x>0：-x《f(x)/x《x

x<0：:x《f(x)/x《-x 由夹逼定理：

追问

问一个问题为什么用夹逼定理 你直接求lim的极限证明导数等于0不行吗 我就是卡在那里

追答

还有一种办法：
|f(x)|《x^2 那么：|f(x)/x|《|x|
-|x|《f(x)/x《|x|, 由夹逼定理：

追问

。。。就是问你 啊 我用 f(x+h)-f(x)/h 去求 然后就得到0/0。。。。。。。。。。。然后就被卡主， 我就很奇怪 lim f(x+h)-f(x)/h 不管是什么函数 都应该是0/0那么根本没办法计算啊 ， 那么那些导数又是怎么来的啊。。。

追答

直接对|f(x)/x|《|x|求极限也可以，但理论上也是夹逼定理

本身导数的定义就是这样。从几何意义讲，割线的斜率的极限值定义为切线的斜率：这时分母是横坐标之差趋于0，分子是纵坐标之差趋于0，也就是0/0型。

这种结构称为0/0型未定式，极限存在也可能不存在。

比如：x趋于1：lim(x^2-1)/(x-1)=2存在
x趋于0：lim(√x-0)/(x-0)不存在

追问

好吧 解释一下15的B你是怎么想到的 这道题我就结束了 另外还有两道题 我重新提问

追答

不好解释，有些是经验或者常识

追问

。。。。。。。。。。。。。。。经验还可以接受。。。。常识什么的。。。。 你。。

。。。。。。。。。。。。。。。经验还可以接受。。。。常识什么的。。。。 你。。

追答

呵呵，不要见怪，我曾经教过高等数学