Question

用定义证明，f(x)为偶函数，且f（0）的导数存在，证明f(0)的导数等于零。

Answer 1

证明：

因为f(x)为偶函数，那么由偶函数的定义f(x)=f(-x)可得：

f(x)=f(-x) ，此式两边对x求导有

f'(x)=-f'(-x) ，即偶函数的导数是奇函数，

所以f'(x)+f'(-x) =0，

又因为f'(0)存在，令x=0，代入可得：

f'(0)+f'(-0)=0，

所以f'(0)=0

证毕。

扩展资料

偶函数的运算法则

(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数。

(2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数。

(3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。

(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。

(5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。

(6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。

(7)定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；因为定义域在R上，所以在x=0点存在f(0)，要想关于原点对称，在原点又只能取一个y值，只能是f(0)=0。这是一条可以直接用的结论：当x可以取0，f（x）又是奇函数时，f（0）=0）。

Answer 2

证明： 由偶函数的定义f(x)=f(-x) 所以f(x)=f(-x) 此式两边对x求导
有f'(x)=-f'(x) 又因为f'(0)存在
代入有 f'(0)=-f'(0)
故f'(0)=0
证毕

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