Question

如图，AB=AE,角ABC=角AED,角C=角D，点F是CD的中点，求证AF垂直CD

Answer 1

如上图，延长BC、ED相交于G，连GF、GA

∵ ∠BCD=∠EDC

∴ ∠GCD=∠GDC

∴  △GCD是等腰三角形

∴  GF⊥CD ，且 ∠CGF=∠DGF………………①

连接BE，

∵ AB=AE

∴ △ABE是等腰三角形

∴ ∠ABE=∠AEB

∵ ∠ABC=∠AED

∴ ∠GBE=∠GEB

∴ △GBE是等腰三角形

∴ BG=GE

又因为 AB=AE，AG=AG

∴  △ABG≌△AEG

∴ ∠BGA=∠EGA=1/2·∠BGE

由①知：∠CGF=∠DGF=1/2·∠BGE

所以，G、F、A 三点共线

由①知：GF⊥CD

∴  AF⊥CD

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Answer 2

延长AB交DC延长线于G 延长AE交CD延长线于H
∠ABC=∠G+∠BCG
∠AED=∠H+∠EDH
又∠C=∠D
∴∠BCG=∠EDH
∴∠G=∠H
∴△AGH是等腰三角形
AG=AH
又AB=AE
∴BG=EH
所以△BGC全等于△EHD
∴GC=DH
∴AF是等腰△AGH的中线
∴AF⊥CD

Answer 3

Answer 4

解连接AC,AD
∵AB=AE,BC=DE且∠ABC=∠AED
∴⊿ABC≌⊿AED
∴AC=AD
又∵CF=DF，AF=AF
∴⊿AFC≌⊿AFD
∴∠AFC=∠AFD又∵∠AFC+∠AFD=180°
∴AF⊥CD

追问

大哥 ，看清楚条件是角C=角D，不是BC=ED

追答

∵AB=AE,BC=DE且∠ABC=∠AED
∴⊿ABC≌⊿AED
∴AC=AD
老大，这是证明条件，边角边（asa）

追问

对啊，看好哪来的BC=DE

追答

嗯，你练习上没有bc=de吗，我的练习是有的。那你就去掉∵AB=AE,BC=DE且∠ABC=∠AED
∴⊿ABC≌⊿AED
∴AC=AD
改成：∵点F是CD的中点
∴ac，ad到两边的距离相等
∴ac=ad