为什么有尺规作图呢?
2013-10-23
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古希腊人说的直尺,指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到,似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形,因而,古希腊人就规定,作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行,并称之为尺规作图法。 漫长的作图实践,按尺规作图的要求,人们作出了大量符合给定条件的图形,即便一些较为复杂的作图问题,独具匠心地经过有限步骤也能作出来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间,古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。 三等分角问题:将任一个给定的角三等分。 立方倍积问题:求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。 化圆为方问题:求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等。 这就是著名的古代几何作图三大难题,它们在《几何原本》问世之前就提出了,随着几何知识的传播,后来便广泛留传于世。 貌以简单其实难 从表面看来,这三个问题都很简单,它们的作图似乎该是可能的,因此,2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。也提出过各种各样的解决办法,例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法,解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。可是,所有这些方法,不是不符合尺规作图法,便是近似解答,都不能算作问题的解决。 其间,数学家还把问题作种种转化,发现了许多与三大难题密切相关的一些问题,比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。可是谁也想不出解决问题的办法。三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁,无数人做了无数次的尝试,均无一人成功。后来有人悟及正面的结果既然无望,便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出? 数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的,哪些不能?标准是什么?界限在哪里?可这依然是十分困难的问题。 高斯的发现 历史的车轮转到了17世纪。法国数学家笛卡尔创立解析几何,为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段,解决三大难题有了新的转机。 最先突破的是德国数学家高斯。他于1777年4月30日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭。他的祖父是农民,父亲是打短工的,母亲是泥瓦匠的女儿,都没受过学校教育。由于家境贫寒,冬天傍晚,为节约燃料和灯油,父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉。高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯,在微弱的灯光下读书。他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱,15岁时被公爵送进卡罗琳学院,1795年又来到哥庭根大学学习。由于高斯的勤奋,入学后第二年,他就按尺规作图法作出了正17边形。紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理:如果一个奇素数P是费尔马数,那么正P边形就可以用尺规作图法作出,否则不能作出。 由此可以断定,正3边、5边、17边形都能作出,而正7边、11边、13边形等都不能作出。 高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩,而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献。他被人们赞誉为“数学王子”。高斯死后,按照他的遗愿,人们在他的墓碑上刻上一个正17边形,以纪念他少年时代杰出的数学发现。 最后的胜利 解析几何诞生之后,人们知道直线和圆,分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题,从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题,最后的解是可以从方程的系数(已知量)经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。因此,一个几何量能否用直尺圆规作出的问题,等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。这样一来,在解析几何和高斯等人已有经验的基础上,人们对尺规作图可能性问题,有了更深入的认识,从而得出结论:尺规作图法所能作出的线段或者点,只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方(指正数开平方,并且取正值)所能作出的线段或者点。 三大难题: 1:三等分任意角(0<α<180); 2:一个单位正方形,化成与它面积相等的圆; 3:一个单位正方体,作出体积是它2倍的正方体。 证明见 http://hi.baidu.com/%CD%FC%C8%B4%B5%C4%BC%C7%C4%EE/blog/item/3ca942fb730d24166c22ebdf.html
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本回答由东莞大凡提供
2013-10-23
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因为他是数学不可少的的部分啊
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