Question

设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：

设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：
（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）当x＞1时，f（x）＜0；
（3）f（3）=-1，
（I）求f（1）、 f(19)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

Answer 1

1）令x=y=1f(1)=2f(1)，f(1)=0令x=y=3f(9)=2f(3)=-2令x=9，y=1/9f(1)=f(9)+f(1/9)=0f(1/9)=22）令y=1/xf(1)=f(x)+f(1/x)=0f(1/x)=-f(x)取0<x1<x2f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1)因为x2/x1>1，所以f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)<0所以f(x)在x>0时是减函数f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]<2=f(1/9)所以x(2-x)>1/9，且2-x>0解得(1-2√2)/3<x<(1+2√2)/33）f(kx)+f(2-x)=f[kx(2-x)]<2=f(1/9)则kx(2-x)>1/9且2-x>00<x<2k>1/[9x(2-x)]在0<x<2时，x(2-x)<=[(x+2-x)/2]^2=1故k>1/9不等式有解，说明k>√√√√√

Answer 2

（Ⅰ）求 f(1)，f(19)的值；令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）．同理求出f（9）后，令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；
（Ⅱ）证明f（x）在R+是减函数；取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2然后根据关系式f（xy）=f（x）+f（y），证明f（x1）＞f（x2）即可；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围，由（Ⅰ）的结果得： f[x(2-x)]＜f(19)，其中0＜x＜2，再根据单调性，列出不等式．解出取值范围即可．

给你一个思路吧

Answer 3

解：（1）令x=y=1，则f(xy)=f(1)=f(1) f(1) 所以f(1)=0 令xy=1则y=1/x f(xy)=f(x) f(1/x)=f(1)=0 而f(9)=f(3) f(3)=-2 所以f(1/9)=0-f(9)=2 (2)先证明函数的单调性哦 当x>1时，令x1>x2>1 则x1/x2>1,f(x1/x2)=f(x1) f(1/x2)<0 又f(x) f(1/x)=0 上式=f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2)
当0<x<1时，令1>x1>x2>0则x1/x2>1,f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2) 所以函数f(x）在定义域上为减函数 原式=f(-x^2 2x)<2=f(1/9) 所以-x^2 2x>1/9 解得x大于一减三分之二倍根号二，小于一加三分之二倍根号二
（3）f(kx) f(2-x)=f(-kx^2 2kx)<2 同上可得 -kx^2 2kx>1/9 因为这里x的范围是正实数所以 kx^2-2kx 1/9<0的解是正数 k大于0，开口向上，故同时满足： 1：b^2-4ac大于等于0； 2：-b/a>0 3:c/a>0 解得 k大于等于1/9

Answer 4

(1)f(3)=f(1×3）=f(1)+f(3)所以f(1)=0,第二问应该求的是f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=-2