Question

关于x的方程ax3-x2+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取值范围为

分离参变量的话，如果写成a=(x2-x-1)/x3,对右边的函数求导-（x-3)(x+1)/x4,虽然x不等于零，但x趋近于0时，右边的函数趋近于负无穷大，答案就有问题了。不明白……

Answer 1

令 f(x)＝ax^3 - x^2 + x + 1
因为f(0)＝1 > 0
所以有三种可能性：
（1）a > 0时,x-->+∞时，f(x)-->+∞。
f(x)和x正半轴相切于某一点，此时只有一实根。
令 f '(x)＝0，解得：3ax^2 -2x + 1=0
而f(x)＝ax^3-x^2+x+1＝(3ax^2－2x+1)x/3 －x^2/3 +2x/3 +1
＝－x^2/3 +2x/3 +1＝0
解得：x1＝－1，x2＝3
将x＝3代入3ax^2 -2x + 1=0，解得: a＝5/27
（2）a<0时，x-->+∞时，f(x)-->－∞，此时至少有一个大于0的实根。
计算极值点：f '(x)＝0，得到：3ax^2 -2x + 1=0
解得： x＝(2 ± √(4－12a))/(6a)
由于 a<0，所以在x>0的条件下只有一个极值点x＝(2 - √(4－12a))/(6a)，
所以可以肯定只有一个x>0的解(有两个解肯定会出现两个极植点)。
因此：a<0符合条件。
（3）经验证a=0也符合条件。
综上所述：
a的取值范围为：a≤0或a=5/27
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如果采用楼主的方法：
a＝(x^2-x-1)/x^3＝f(x)
就是要求a处于什么范围时，方程a=f(x)只有一个实解(x>0)。
令：f ‘(x)＝－(x-3)(x+1)/x^4＝0
解得x＝3 (x=－1不符合条件舍去)
解得f(x)的极值为5/27，经验证为极大值.
另外当x-->+∞时,f(x)-->0；x-->0时,f(x)-->－∞。
也就是说x∈[3,+∞)时，f(x)的值域为(0,5/27]，单调递减；
x∈(0,3]时，f(x)的值域为(－∞,5/27]，单调递增。
因此：当a ≤ 0或a = 5/27时，方程a=f(x)只有一个解(一个交点).

Answer 2

f(x) = ax^3 - x^2 + x+1
f'(x) = 3ax^2 - 2x + 1
f'(x) 的零点为f(x) 的极值点，设f'(x)的0点为x1,x2,
如果f(x) 只有一个实数根，则
f(x1)*f(x2) > 0
x1,x2 = (1+/- 根号（1-3a))/(3a)
a 不等于0， a <= 1/3,
解：a<-1, 0.186<x<=1/3