Question

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点.

（1）证明ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；

（2）设AA1=AC=AB,求二面角A1ADC1的大小.

请用空间向量的方法做。

Answer 1

1. 设F为AA1中点，G为CC1中点，DFG平行于ABC，DE在DFG上，垂直于BB1，三角形ADC1为等腰，DE为AC1的中线，也是高，所以垂直
2.AC=AB=BC? 正三角形了？

追问

用向量的方法

追答

假设各棱长相等，为简便，长度为1
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1/2，根号（3）/2，0）
A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1/2，根号（3）/2，1）
D（1，0，1/2）
E（1/4，根号（3）/4，1/2）
ED:(3/4,-根号（3）/4,0)
BB1:(0,0,1)
AC1:（1/2，根号（3）/2，1）
ED 与BB1,ED与AC1点积为0，夹角=90度

A1AD 与AA1B1B共面，法向量为 n1（0，1，0）
ADC1: x+根号（3）y -2z = 0, 法向量n2 (1,根号（3），-2）
cos(n1-n2) = 根号（3/8）为二面角的余弦