Question

已知函数f(x)=x|x+1|-x-2。是否存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n],

Answer 1

定义域值域都是[m,n]的情况    即考虑抛物线与y=x的关系即可，通过图像很好理解

思路就是先找到抛物线与y=x的交点，再看这一段中抛物线的最大/最小值是否也在这段定义域内。

f(x)=x|x+1|-x-2

x>=-1时 ： f(x)=x(x+1)-x-2 =x^2-2   对称轴为x=0，开口向上，[-1，0)单调递减[0,+∞）单调递增

所以先另y(m)=m  即x^2-2 =x , (x-2)(x+1)=0 x=2或-1， 这一段中x=0时最小值为-2，所以要取

[-2,2].这段满足上述要求， 下面再分析[-2,-1]这段是否也满足要求。

 

x<-1时，  f(x)=x[-(x+1)]-x-2=-x^2-2x-2=-（x+1）^2-1

对称轴为x=-1, 开口向下 

在[-2,-1]的值域为[-1,-2] 也满足条件， 则上式的[-2,2] 满足要求。 （碰巧[-2,-1]这段也满足要求,不过下面再用相同方法做一遍）

 

再单独考虑x<-1时情况。令-x^2-2x-2=x,  (-x-2)(x+1)=0 x=-2或-1

所以与y=x的交点是x=-2和x=-1   由于是开口向下的，看最大值在不在范围内。

最大值为-1在范围内，所以[-2,-1]这段也满足

 

 

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