Question

二阶导函数连续可推出三阶可导吗？

我是从一道题中想到的这个问题，题目如下：
设函数f(x)满足关系式f''(x)+[f'(x)]^2=x,且f'(0)=0，则：点（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点
给出的解题步骤是：
f''(0)=0, f''(x)可导，f'''(x)=1-2f'(x)f''(x), f'''(0)=1>0
【我的疑问】：题目中没有说3阶可导，为什么解题里直接可以求3阶导数呢？是因为已知给出的是f''(x)的关系式（关于x，而不是某一个x0点），所以表明2阶导函数连续？继而由2阶导函数连续可推出3阶可导吗？谢谢

Answer 1

f''(x)= x- [f'(x)]^2 注意这个式子 可以看出式子右边是可导的（因为2阶可导） 所以才有f''(x)可导 所以三阶可导

追问

非常感谢，我好像明白了。还请问从“函数f(x)满足关系式f''(x)+[f'(x)]^2=x”这句话中，能够得出f(x)二阶导函数连续吗？还是只能说明二阶可导啊？

追答

由f''(x）可导 就可以得出f''(x）连续 因为可导函数必定连续
顺便说一下为什么x- [f'(x)]^2可导，因为x可导，f'(x）可导（题目已经写出f''(x）），而 a-b^2是一种基本初等组合，所以那两个函数这样组合出来的函数也是可导的。

追问

非常谢谢，那么f'''(x)=1-2f'(x)f''(x) 中2f'(x)f''(x)还算不算基本初等组合呢？如果算的话，是不是也就可得4阶可导：f(x)的4阶导数=-2f''(x)f''(x)-2f'(x)f'''(x)，这样的话也能得到5阶可导，以此类推，可以依次求导下去呢？

追答

不是这样的，这种方法 是基于你求出结果之后，你的结果在定义域上的每一点都有意义。例如该题f''(x)求导后，f'''(x)=1-2f'(x)f''(x) ，中f''(x)和f'(x)对于每一个X是可以写出结果的，因此可以求出f'''(x)。
而有些函数例如f(X)=x^(4/3) 它的X=0处一阶可导，二阶不可导，原因在于二阶导时有f''(x)为正无穷。
而本题中很明显可以算出f'''(0)=1 所以可以说它在X=0处可导。
总的来说如果函数在整个定义域内可导，它们的基本初等组合不一定在每一点可导， 导函数是可以写出来的，但是不能保证导函数在原函数定义域的每一点上都有定义了。。。

Answer 2

1)二阶导函数连续不能推出三阶可导
2)题目的解答中说f''(x)可导,我没看出来从哪能推出这个结论.所以不能对那个关系式求导,而是应该用定义求
f'''(0)
=lim(x->0)[f''(x)-f''(0)]/x
=lim(x->0){ x-[f'(x)]^2 - 0 }/x
=lim(x->0)(x-0-0)/x
=1