Question

如图,在三角形ABC中，角CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，过D作DM丄AB于点M

如图,在三角形ABC中，角CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，过D作DM丄AB于点M，DN丄AC，交AC的延长线于点N。求证：BM＝CN。

Answer 1

证明：连接BD ,CD
因为角BAC的平分线交BC的垂直平分线于D
所以角DAM=角DAN
BD=CD
因为DM垂直AB于M
所以角AMD=角BMD=90度
因为DN垂直AC交AC的延长线于N
所以角AND=角CND=90度
所以角AMD=角AND=90度
三角形BMD和三角形CFD是直角三角形
因为AD=AD
所以三角形AMD和三角形AND全等（AAS)
所以DM=DN
所以直角三角形BMD和直角三角形CND全等（HL)
所以BM=CN

Answer 2

连接BD、CD
∵AD平分∠CAB DM⊥AB于M，DN⊥AC于N
∴DM=DN，且∠DMB=∠DNC=90°
∵DE垂直平分线段BC ∴DB=DC
∴Rt⊿DMB≌Rt⊿DNC﹙HL﹚
∴BM=CN