Question

高中数学关于圆最值的问题。

已知X、Y满足圆X²+Y²-4X+1=0
⑴求Y/X的最大值与最小值。
⑵求X-Y的最大值与最小值。
⑶求X²+Y²的最大值与最小值。
需要详细过程，谢谢！

Answer 1

圆的方程为(x-2)^2 + y^2 = 3

如图，绿色直线为过原点向圆做的切线，切点、原点和圆心构成30-60-90度直角三角形，切线斜率为-根号（3）->根号（3），即为y/x 的最小和最大值

 

红线为斜率为1的切线，过两个切点的直径斜率=-1，切点为（2-根号（3/2），根号（3/2））和（2+根号（3/2），-根号（3/2））

切线方程为 y = x + 根号（6）-2 和 y = x - 根号（6）-2

x  - y = 2 - 根号（6） 和 2+根号（6） 即为x-y的最小值和最大值

 

x^2 + y^2 = 4x - 1

最大值为 4（2+根号（3））-1 = 7+4根号（3）

最小值为7 - 4根号（3）