Question

高等数学 这道关于复合函数连续性的题，要怎么做，不明白

Answer 1

答案应该选B，(1)(4)正确。
(1) 这个是书上的定理
(2) 举一个反例：
φ(x)=0，f(x)＝√x (x=0不连续)
f(g(x))=0，始终连续。
(3) 举一个反例：φ(x)=[x]，[x]表示小于x的最大整数，
g(x)=0, 则 g(φ(x))=0，φ(x)有断点，但g(φ(x))始终=0，连续。
(4) 举一个正例：
定义： φ(x)＝x (当x为有理数)
＝1+x (当x为无理数)
显然φ(x)在任意点都不连续。
定义： f(x)＝1+x (当x为有理数)
＝x (当x为无理数)
显然f(x)在任意点都不连续。
但f(g(x))＝1+x， 在任意点都连续。
总结：不连续条件下得不到连续或不连续的定论。

追问

（2）不是太理解，就是：
φ(x)=0，f(x)＝√x (x=0不连续)
f(g(x))=0，始终连续。-------------这里f(φ(x)）=√φ(x)，他只有φ(x)=0才f也等于0啊，但是φ(x)在f定义域里没意义的啊。

追答

不好意思，打错了，冒出了g(x).
定义φ(x)=0，x∈R
f(x)＝√x (在x=0处不连续)
则f(φ(x))＝0，在x∈R内处处连续。
也就是说虽然f(x)在x=0处不连续，
但f(φ(x))无论x为何值，均有f(φ(x))=0，
f(φ(x))的定义域事实上已经拓宽了。
实在不好理解的话，你可以增加f(x)在负数区间的定义，只要让f(x)在x=0处形成间断点就可以，
如增加定义f(x)=-1(x<0),结果是一样的。
再比如定义：φ(x)=x^2, f(x)＝√x，则：f(φ(x))=|x|，在x=0处也连续。