Question

已知f(x)是R上的奇函数，且f(x)的图像关于x=1对称，当x∈[0,1]时。f(x)=2^x-1 ⑴求证：f(x)是周期函数

已知f(x)是R上的奇函数，且f(x)的图像关于x=1对称，当x∈[0,1]时。f(x)=2^x-1
⑴求证：f(x)是周期函数
⑵当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式
⑶计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值

Answer 1

(1)
依题意f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),
∴f(2+x)=f[1-(1+x)]=f(-x)=-f(x),
∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数

(2)
f(x)=f(2-x)=2^x-1
令t=2-x, x=2-t
∵x∈[0,1]
∴t∈[1,2]

∴f(t)=2^(2-t)-1,t∈[1,2]
即x∈[1,2],f(x)=2^(2-x)-1

(3)
f(0)=0
f(1)=1
f(2)=0
f(3)=f(-1)=-f(1)=-1
f(4)=f(0)=0
f(2013)=f(1+4*503)=f(1)=1
f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)

=f(0)+f(2013)+503*[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]
=1

Answer 2

（1）奇函数故f（x）＝-f（-x），又关于x=1对称故f（x）=f（2-x），故f（-（2-x））＝-f（2-x）=-f（x），即f（x-2）=-f（x），故f（x-4）=-f（x-2）=f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数。
（2）由f（x）=f（2-x），当x∈[0,1]时，2-x∈[1,2]，故f（2-x）=2∧x-1=2∧（-（2-x）+2）-1，故当x∈[1,2]时.f（x）=2∧（-x+2）-1。
（3）f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-f（1）=-1.故和式=0*503+f（4*503+2）=1。
可借助正弦函数帮助理解。手机打字比较简略敬请谅解。