Question

证明定义在（-l,l)上的任意函数f(x)必可表示为一个偶函数与一个奇函数的和。求答案

Answer 1

证明：设f(x)为定义在（-I，I）上的任意一个函数
令 h(x) =[f(x)+f(-x)]/2
则，h(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2= h(x)
所以， h(x)为偶函数。
令 g(x) =[f(x)-f(-x)]/2
则，g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2= -[f(x)-f(-x)]/2= -g(x)
所以g(x)为奇函数。
又因为， f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2 =h(x)+g(x)
所以，f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和

Answer 2

设f(x)=g(x)+h(x), 其中g(x)为(-l,1)上奇函数，h(x)为(-l,l)偶函数
则有f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)
两式相加，再除以2，得：h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
两式相减，再除以2，得：g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
这样的h(x),g(x)即为满足条件。
得证。