Question

关于闭区间上连续函数的性质的问题~

刚老师在讲有界定理和最值定理的时候把我给搞糊涂了~
他说f(x)=x在（0,1）上是无最值的，因为函数值取不到端点值，这个我清楚，
但是又说0和1分别是它的上下界。
那既然如此，为什么f(x)=1/x在（0,1）上连续是无界的？

Answer 1

f(x)=x，0和1分别是它的上下界和f(x)=1/x在（0,1）上连续是无界的不矛盾啊，首先初等函数在其定义域内都是连续的，因此f(x)=1/x在（0,1）上连续，而又因为x趋于0时，f(x)=1/x是趋于无穷大的，所以无界。有不明白的地方欢迎追问。

追问

哦，就是说判断一个连续函数是否有界，还得考虑下极限~
还有，就以刚才的那个例子，f(x)=1/x，能不能说它在（0,1）上有下届？

追答

是的，由于f(x)=1/x在（0,1）上是单减的，所以f(1)=1就是它的下届，但是注意f(x)在（0,1）上取不到它的下届，这也就是说函数能取到最大小值的那个定理为什么要求自变量在闭区间上取值了。

追问

嗯，这个知道了，那如果说一个连续函数在某一区间有界，就是说上界、下届都得存在，只存在一个不叫有界？

追答

没错，你可以看看有界的定义，是f(x)的绝对值小于任意给定的正数M，根据定义可以推出函数有界的充要条件是函数既有上界又有下界。