Question

常数变易法步骤问题

方程变为 y'-(x+1)y=x
这时我们先求出y'-(x+1)y=0的解
因为y'-(x+1)y=0 很简单 可以把x,y分开到等号左右两边
解出y 然后把解里面的常数C换成t(x)
代入原非其次方程 左边会恰好消掉y
然后很容易求出t(x)

为什么t(x)可以代替常数C,怎么代入原式求得t(x)的
详细说明

Answer 1

y'-(x+1)y=x ①
先求出y'-(x+1)y=0 ②的解
(dy)/y=(x+1)dx，lny=1/2*(x+1)^2+c
y=e^[1/2*(x+1)^2+c]=Ce^[1/2*(x+1)^2]
　　这个y是方程②的解，前人研究发现：若常数C是一个函数t(x),那么就能得到①的解了，
于是，我们把上面y里面的常数C换成函数t(x)，并求出
y=t(x)*e^[1/2*(x+1)^2] ③，y'=t(x)*e^[1/2*(x+1)^2]*(x+1)+t'(x)*e^[1/2*(x+1)^2]，
再将求得的y,y'代入①,化简，y'的第一项就抵消了，得到
t'(x)*e^[1/2*(x+1)^2]=x，
∴t'(x)=x/e^[1/2*(x+1)^2] dx=1/e^[1/2*(x+1)^2] *d[1/2*(x+1)^2]，
这里积分就得到t(x)（相信你可以作出来，就不多写了），把它代入③，就得到原方程的解了。
按以上步骤多做几道题，相信你就能掌握了。祝你进步成功！

追问

谢谢你的回答，“若常数C是一个函数t(x),就能得到①的解了”，我就是不能理解这个
是不是这就像公式一样只需要知道结果，没有过程的？

追答

你的理解准确。那是前人研究发现的，我们只要按步骤作就行了。