Question

设f(x)=log1/2((1-ax)/(x-1))为奇函数，a为常数，(1)求a的值(2)证明：函数f(x)在区间(1,+无穷大)内单调递

设f(x)=log1/2((1-ax)/(x-1))为奇函数，a为常数，(1)求a的值(2)证明：函数f(x)在区间(1,+无穷大)内单调递增(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>0.5∧2+m恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

(1)
f(x)为奇函数，
那么f(-x)=-f(x)
f(-x)+f(x)=0
所以
log(1/2)[(1+ax)/(-x-1)]+log(1/2)[(1-ax)/(x-1)]=0
即log(1/2)[(1+ax)/(-x-1)*(1-ax)/(x-1)]=0
所以(1+ax)/(-x-1)*(1-ax)/(x-1)=1
1-a^2x^2=1-x^2
(a^2-1)x^2=0
因为x是变量，所以常量a^2-1=0
∴a=±1
当a=1时，真数为-1不合题意
∴a=-1
(2)稍候

追答

f(x)=log(1/2)[(1+x)/(x-1)]
任取1x1-x2
∴1+x2-x1+x1x2>1+x1-x2+x1x2>0
∴(1+x2-x1+x1x2)/(1+x1-x2-x1x2)>1
因为底数为1/2
∴log(1/2)[(1+x2-x1+x1x2)/(1+x1-x2-x1x2)]<0
即f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
那么f(x)在(1,+∞)上单调递增

（3）
对于区间[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>0.5∧2+m恒成立，只需

f(x)min>(1/2)^2+m即可
因为f(x)是[3,5]上的增函数
∴f(x)min=f(3)=log(1/2)(2)=-1
∴-1>0.5∧2+m

题目有问题
0.5^2+m是什么东西

若是log(1/2)(2+m)的话
那么log(1/2)(2)>log(1/2)(2+m)
得到m-2

-2<m<0

Answer 2

所以
log(1/2)[(1+ax)/(-x-1)]+log(1/2)[(1-ax)/(x-1)]=0
即log(1/2)[(1+ax)/(-x-1)*(1-ax)/(x-1)]=0
所以(1+ax)/(-x-1)*(1-ax)/(x-1)=1
1-a^2x^2=1-x^2