Question

已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x.若f(x)在区间[1,正无穷)上为增函数，求实数a的范围

Answer 1

解：导数f'(x)=3x�0�5-2ax-3，令f’(x)＞0，求出的就是增区间
∴f’ (x)=3x�0�5-2ax-3＞0
∵f(x)要在[1,+∞）上为增函数，也就是保证x∈[1,+∞）在f’ (x)=3x�0�5-2ax-3＞0恒成立。
∴3x�0�5-2ax-3＞0 [x∈[1,+∞）]
3x�0�5-3＞2ax
（3x�0�5-3）/2x＞a
此时，要左式恒大于a，也就是要求出左式的最小值，只要最小值，其他值就一定大于a
∵（3x�0�5-3）/2x 在x=1时取到最小值，也就是0
∴0＞a ∴a＜0

Answer 2

解：
f '(x)=3x�0�5-2ax-3 对称轴x=a/3
因为f(x)在[1，+∞)上是增函数
所以当x∈[1，+∞)时，f '(x)≥0恒成立
故 a/3≤1
f '(1)=-2a≥0
解得a≤3
a≤0
故a≤0

答案：a≤0

Answer 3

a<0