Question

关于(sinx)^x的求导问题

在对y=(sinx)^x求导时,为什么用复合函数的思想,即把原函数写成y=u^x,u=sinx进行求导,得不到正确结果??
谢谢
回复韦战:
我知道u不是常数,但用复合函数来求解这种问题,u本身就应该不是常数,要不然就可以直接用公式求啦,我不知道自己想得有没有错,请详细指出我的误区,分数可以追加,谢谢.
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继续回复韦战:
那如果只用高中的方法来做这题,那该怎么做呢?(除了把(sinx)^x写成e^xln sinx)
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回复Hilbert23 :
嗯,我知道我的误区是什么了.那用高中的方法怎样做,要求同上.

Answer 1

u^x求导公式底数必须是常数
x^n同理指数必须是常数
所以两个公式皆不能用

y=(sinx)^x=e^(xln|sinx|)
再用复合函数求导

要不然就用取对数求导法
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复合函数求导
就是把复合函数拆成一系列简单函数
各自求导然后相乘

这个题外层函数y=u^x求导的时候也是要用基本公式的
而(a^x)'=(a^x)lna要求底数a是常数(公式后面有括号说明吧)
底数不是常数就不能用
而这个u=sinx本身不是常数
而是一个中间变量,变量...
所以不行
基本公式不能乱用哦~
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方法1
两边同时取以e为底的对数
lny=xlnsinx
两边同时对x求导数
含有y的把y看成关于x的函数,复合函数求导
(1/y)*y'=1*lnsinx+x*(1/sinx)*(sinx)'
化简即y'/y=lnsinx+xcotx
解出y'来,再把右边的y带入
y'=y*(lnsinx+xcotx)=(sinx)^x*(lnsinx+xcotx)

方法2
写成e^xlnsinx再求导(略)

也就这2种方法了吧

Answer 2

这是幂指函数的求导问题，
1。可以使用隐函数的对数求导法，即对等式两端同时取对数，求导后再代回来。
2。使用偏导数里面的链式法则。
3。使用全微分会更方便。

楼主的误区在于对复合函数的理解
而复合函数最关键的在于要明白是怎样复合的
比如sin(lnx)是两层复合，即，先对数后正弦

而 (sinx)^x不是简单的复合
也就是说，不能理解成先正弦后。。。。。

Answer 3

前面的方法有问题。这类问题的通用解法是，对
对数
求导。
lny
=
sinx
*
ln
x
两边求导，
y'/
y
=
cosx
*
ln
x
+
sinx
/
x
y'
=
(cosx
*
lnx
+
sinx/x)
*
y
=
(cosx
*
lnx
+
sinx/x)
*
x^sinx
类似的，
y
=
x^x
求导，
lny
=
x*lnx
y'/y
=
lnx
+
1
y'
=
(lnx
+
1)
*
x^x

Answer 4

我想你一定是把a^x的导数与x^a的导数概念弄混了．
这道题开始应该用a^x的导数来算．
好象(a^x)'=alnx.查查求导公式吧．．

Answer 5

因为底数和指数都是变量
所以不能直接求导

lny=xlnsinx
(1/y)*y'=1*lnsinx+x*(1/sinx)/(sinx)'
=lnsinx+x*(cosx/sinx)
=lnsinx+xcotx
所以y'=y*(lnsinx+xcotx)
==(sinx)^x*(lnsinx+xcotx)