Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线

Answer 1

解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2
∴OB=4，OA=23
由折叠知，∠COB=30°，OC=OA=23
∴∠COH=60°，OH=3，CH=3
∴C点坐标为（3，3）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（3，3）、A（23，0）两点，
∴3＝(3)2a+3b0＝(23)2a+23b，
解得：a＝�6�11b＝23，
∴此抛物线的解析式为：y=-x2+23x．
解法一：（3）存在．
因为y＝�6�1x2+23x的顶点坐标为（3，3）
所以顶点坐标为点C（8分）
作MP⊥x轴，垂足为N，
设PN=t，因为∠BOA=30°，
所以ON=3t
∴P（3t，t）（9分）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把x＝3t代入y＝�6�1x2+23x
得：y=-3t2+6t
∴M（3t，-3t2+6t），E（3，-3t2+6t）（10分）
同理：Q（3，t），D（3，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD（这时△PQD≌△MEC）
即3-（-3t2+6t）=t-1，解得：t1＝43，t2=1（不合题意，舍去）（11分）
∴P点坐标为（433，43）（12分）
∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（433，43）；
解法二：

（3）存在．
由（2）可得：y＝�6�1x2+23x=�6�1(x�6�13)2+3得顶点坐标为（3，3），
即点C恰好为顶点；（8分）
设MP交x轴于点N，
∵MP∥y轴，CH为抛物线的对称轴
∴MP∥CD且CM与DP不平行
∴四边形CDPM为梯形
若要使四边形CDPM为等腰梯形，只需∠MCD=∠PDC
由∠PDC=∠ODH=90°-∠DOA=60°，则∠MCD=60°
又∵∠BCD=90°-∠OCH=60°，
∴∠MCD=∠BCD，
∴此时点M为抛物线与线段CB所在直线的交点（9分）
设BC的解析式为y=mx+n
由（2）得C（3，3）、B（23，2）
∴3＝3m+n2＝23m+n
解得：m＝�6�133n＝4
∴直线BC的解析式为y＝�6�133x+4（10分）
由y＝�6�1x2+23xy＝�6�133x+4
得x1＝433，x2＝3
∴ON=433（11分）
在Rt△OPN中，tan∠PON=PNON得PN＝43
∴P点坐标为（433，43）（12分）
∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐标为（433，43）．

Answer 2

OA=2倍根号3