Question

已知集合P={x丨1/2≤x≤2}，函数f(x)=log2(ax^2-2x+2)的定义域为Q,若P是Q的子集，求实数a的取值范围。

Answer 1

f(x)=log<2>(ax^2-2x+2)
(1)当a=0时，f(x)=log<2>(-2x+2)
定义域为-2x+2＞0
即，x＜1
显然不满足
(2)当a≠0时：
定义域为g(x)=ax^2-2x+2＞0
①若a＞0，△＜0，则Q=R，满足
===> 4-8a＜0
===> a＞1/2
②若a=1/2，则g(x)=(1/2)x^2-2x+2=(1/2)(x^2-4x+4)=(1/2)(x-2)^2
定义域为x≠2，即(-∞,2)∪(2,+∞)
此时不满足
③若a＞0，△＞0 ===> 0＜a＜1/2
此时，当对称轴x=-b/2a=1/a＞2
那么，只需要g(2)＞0 ===> 4a-4+2＞0 ===> a＞1/2
与0＜a＜1/2矛盾
④若a＜0，△＞0 ===> a＜0
此时只需要满足g(1/2)＞0，且g(2)＞0
===> (a/4)-1+2＞0，且a＞1/2
===> a＞-4，且a＞1/2
===> a＞1/2
与x＜0矛盾
综上：a＞1/2