Question

空集有什么概念？

Answer 1

空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。空集的性质：空集是一切集合的子集。对任意集合 A，空集是 A 的子集； 　　�6�6A: {} �6�7 A 　　对任意集合 A, 空集和 A 的并集为 A： 　　�6�6A: A ∪ {} = A 对任意集合 A, 空集和 A 的交集为空集： 某种事物不存在，就是空集。�6�6A: A ∩ {} = {} 　　对任意集合 A, 空集和 A 的笛卡尔积为空集： 　　�6�6A: A × {} = {} 　　空集的唯一子集是空集本身： 　　�6�6A: A �6�7 {} �6�0 A = {} 　　空集的元素个数（即它的势）为零；特别的，空集是有限的： 　　|{}| = 0 　　集合论中，两个集合相等，若它们有相同的元素；那么仅可能有一个集合是没有元素的，即空集是唯一的。 　　考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，空集是紧致集合，因为所有的有限集合是紧致的。 　　空集的闭包是空集。 有些人会想不通上述第一条性质，即空集是任意集合 A 的子集。按照子集的定义，这条性质是说 {} 的每个元素 x都属于 A。若这条性质不为真，那 {} 中至少有一个元素不在 A 中。由于 {} 中没有元素，也就没有 {} 的元素不属于 A 了，得到 {} 的每个元素都属于 A， 即 {} 是 A 的子集。