Question

高一数学，谢谢

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Answer 1

3.(1) 定义域为a^x+1不等于0

         x∈R

        f(x)=1-2/(a^x+1)

        a^x+1>1

        所以0<1/(a^x+1)<1

               0<2/(a^x+1)<2

               0>-2/(a^x+1)>-2

               1>1-2/(a^x+1)>-1

        f(x)的值域为(-1,1)

   (2)f(-x)=(1/a^x-1)/(1/a^x+1)

              =[(1-a^x)/a^x]/[(1+a^x)/a^x]

              =(1-a^x)/(1+a^x)=-f(x)

       所以f(x)为奇函数

   (3)设m n∈R且m>n

       f(m)=1-2/(a^m+1)

       f(n)=1-2/(a^n+1)

       f(m)-f(n)=1-2/(a^m+1)-1+2/(a^n+1)

                    =2/(a^n+1)-2/(a^m+1)

                    =2(a^n-a^m)/(a^n+1)(a^m+1)

       a^n+1>0,  a^m+1>0

• 当a>1时，a^m>a^n

       f(m)-f(n)<0

       f(x)在x∈R上单调减

• 当0<a<1时，a^m<a^n

       f(m)-f(n)>0

       f(x)在x∈R上单调增

4.(1) 令x=0,y=1

        f(0+1)=f(0)*f(1)

        f(1)=f(0)*f(1)

        当x>0时，f(x)不为0

        所以f(0)=1

   (2) f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=1 (x不等于0)

        f(-x)=1/f(x)

        x>0,0<f(x)<1

        1/f(x)>1

        即f(-x)>1

        所以当x<0时，f(x)>1

   (3)设a>0

       f(x+a)=f(x)*f(a)

       因为x>0,0<f(x)<1

       所以0<f(a)<1

       f(x+a)<f(x)

       又x+a>x

       所以f(x)在x∈R上单调减

   (4)[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]

        不会打下标，为了看着方便，我就用m n表示x1 x2了

        [f(m/2)-f(n/2)]²=f(m/2)²+f(n/2)²-2f(m/2)f(n/2)

                              =f(m)+f(n)-2f(m/2+n/2)>0

        f(m)+f(n)>2f[(m+n)/2]

        [f(m)+f(n)]/2>f[(m+n)/2]