Question

△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是

Answer 1

如图
延长AI交BC于点E，连接IC
因为I为△ACD的内切圆圆心
那么，AI、CI分别为∠A和∠ACD的平分线
所以，∠2=∠3
已知AB=AC
所以，AE⊥BC
因为AB=AC、∠BAI=∠CAI=∠A/2、AI公共
所以，△BAI≌△CAI（SAS）
所以，∠1=∠2、∠AIB=∠AIC
所以，∠1=∠2=∠3
又，∠2+∠3+∠A=90°……………………………………（1）
而，∠BIE=∠1+∠A/2、∠CIE=∠2+∠A/2
所以，∠BIC=∠BIE+∠CIE=∠1+∠A/2+∠2+∠A/2=∠1+∠2+∠A
因为∠1=∠3
所以，∠BIC=∠2+∠3+∠3
联系(1)式得到，∠BIC=90°
而圆心角为360°
所以，∠AIB+∠AIC=360°-∠BIC=360°-90°=270°
由前面知，∠AIB=∠AIC
所以，∠AIB=270°/2=135°