Question

高中数学均值不等式习题

若a,b,c,均为正数，求证a3+b3+c3>=3abc

Answer 1

a3+b3+c3>=3abc 只要证明2（a3+b3+c3）>=6abc 即可。2（a3+b3+c3）= (a^3+b^3) + (b^3+c^3) + (c^3+a^3)= (a+b) (a^2-ab+b^2) +(b+c)(b^2-bc+c^2) +(c+a)(c^2-ca+a^2) （因为a^2+b^2≥2ab）≥(a+b)(ab) +(b+c)(bc) +(c+a)(ca)=a^2 *b+a*b^2+b^2*c+b*c^2+c^2*a+c*a^2 = (a^2*b+bc^2) +(a*b^2+c^2*a)+(b^2*c+c*a^2)=(a^2+c^2)b +(b^2+c^2)a+(b^2+a^2)c (因为a^2+c^2≥2ac，后面的同样）≥2abc+2abc+2abc=6abc

Answer 2

a^3+b^3+c^3-3abc
=[a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3)+c^3]-3abc-3a^2*b-3ab^2
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-ab+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)∵a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac∴(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)≥0恒成立即a3+b3+c3>=3abc

Answer 3

这本来就是个定理...∵a^3+b^3+c^3-3abc =(a+b)^3+c^3-3a^2*b-3ab^2-3abc =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) =(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]≥0 ∴a^3+b^3+c^3>=3abc