怎么用数学归纳法证明由n个元素组成的集合有2的n次方个子集

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有一个元素的子集个数为2(空集和全集),为2^1

假设有n个元素的子集为2^n

则对于n+1个元素的子集数量为2^n*2,即为2^(n+1)

当n=m+1时,也就是多了一个元素,然后把这个元素添加到之前的2的m次方个子集中,就会重新得到新的2的m次方个子集,因此n=m+1时,集合有2的m次方+2的m次方 个子集,也就是2倍的2的m次方,即2的m+1次方个子集,因此,当n=m+1,集合有2的m+1次方个子集。

性质

一、根据子集的定义,我们知道A⊆A。也就是说,任何一个集合是它本身的子集。

二、对于空集∅,我们规定∅⊆A,即空集是任何集合的子集。

说明:若A=∅,则∅⊆A仍成立。

证明:给定任意集合A,要证明∅是A的子集。这要求给出所有∅的元素是A的元素;但是,∅没有元素。对有经验的数学家们来说,推论“∅没有元素,所以∅的所有元素是A 的元素"是显然的;但对初学者来说,有些麻烦。

士谷兰夏迈
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有一个元素的子集个数为2(空集和全集),为2^1
假设有n个元素的子集为2^n
则对于n+1个元素的子集数量为2^n*2,即为2^(n+1)
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匿名用户
2013-10-27
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注意数学归纳法的格式:
首先,当n=1时,可以知道只有空集和本身是它的子集,也就是2的1次方
假设当n=m时,集合有2的m次方个子集
当n=m+1时,也就是多了一个元素,然后把这个元素添加到之前的2的m次方个子集中,就会重新得到新的2的m次方个子集,因此n=m+1时,集合有2的m次方+2的m次方 个子集,也就是2倍的2的m次方,即2的m+1次方个子集,因此,当n=m+1,集合有2的m+1次方个子集。
证毕。
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