Question

求函数的值域要怎么求？

Answer 1

函数是中学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容当中都能够看到它的作用，这就决定了在高考当中的重要地位。函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，这些使函数的值域成为历年高考必考的重点之一。而如何求函数的的值域却令大多数同学头疼，因为函数千变万化，各不相同，对函数值域的求法也各种各样。常用的求函数值域的方法有：配方法、换元法、图像法、利用函数的单调性法等，方法众多。有的同学学会了各种方法，却不清楚每种方法适合什么样的函数，所以在解题时各种方法乱套，或者方法一种一种的去尝试。导致这种情况的根源是没有把握好函数的特点，只是注重了方法。现在高中阶段所接触的函数主要是基本初等函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，再其他一些就是由基本初等函数构成的复合函数。为了避免学生在学习函数的值域过程中出现上述问题，我认为教师在讲授函数的值域时应抓住基本初等函数的特点，重点讲解好如何利用基本初等函数的定义域及性质来求解函数的值域。这样学生就通过函数的形式、类别来寻求解决值域问题的方法，符合形象思维的范畴。正如前苏联伟大教育家苏霍姆林斯基所说的“直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一定情绪色彩。” 形象思维是思维的主要形式之一，主要是指人们获得表象，根据表象创造的思维活动，没有形象思维就没有创新。现列出我讲解《函数的值域》时重点部分的教学实录，供大家批评指正。 师：题组1：已知函数，当①②③时，求函数的值域。 （学生思考解答） 生：①，②，③， 生1：将和代入，将和代入，……就得到了答案。 师：生1的答案正确吗？解法好吗？（鼓励其他同学对已有的方法进行质疑，提高学生的辨析能力以及对真理的向往心理） 生2：答案正确，但解法不好，他的答案是蒙对的。如果的图像不是单纯上升，那么生1的做法可能就会出错。我认为根据的图像来解决问题更好一些。 生2：画出的图像，观察当、和时，寻找满足题意的点的纵坐标的范围，于是得到值域。 师：好一个“满足题意的点的纵坐标的范围”，（适时地给学生以鼓励，让学生有一股成就感，这样会更好的调动他们思考的积极性）这就是的值域在坐标系中的体现。利用函数的几何图像来研究、解决代数问题，非常形象而且直观，我们称这种思想方法为…… 生（齐）：数形结合。 师：试看下一个问题：试求的值域。 生3：把看作一个整体，，， 师：好，在解决下一题组：求下列函数的值域：①；②，（在学生自己逐渐发现的基础上，通过难易适中的题目引导学生逐步深入） 生4：①，②， 生5：我认为，首先研究根式下面的式子，研究好了它的范围，通过的图像，至于就出来了。突破口就是根式下面的表达式，把这个表达式看成一个整体来研究。（简单的提示后让学生自我归纳针对此类题目的解法，迫使其努力思考） 师：像刚才生5所说的，如果我们再用一个未知量来代替根式下的表达式，那么这种方法可以称之为…… 生（齐）：换元法。 教师用投影仪展示下一题组：求下列函数的值域。（难度再次加深，但是在学生自我研究自我发现的基础上，解决这些问题不再困难）① ② ③生：①，且在二次根式下，，， ②，所以由不等式的性质得 ③位于二次根式下，，，. 生6：寻找突破点，抓住突破口，重点研究二次根式下的表达式的最值，然后再利用的图像和不等式的性质求解。（让学生再次归纳） 生：对于根式类的函数（只含一个根式）求值域的问题，可以采用上述思想方法。 另外对于以及由此推广出来的函数的求值域问题，我们也可以采用同样的方法解决，重点在于寻找突破口。我在上课时采用的题目如下： 题组1：求函数的值域：，①；②且；③且. 题组2：求函数的值域：①；②. 题组3：求函数的值域：①；②. 题组4：求函数的值域：①；②. 通过对上述四个形象类似，但又迥然不同的题组的练习，学生基本上掌握了对于以及由它派生出来的函数的求值域问题的要旨，就是抓图像、找突破口。综合来看，我认为此类函数的值域的求法是本来存在的，我们不应该强迫学生接受它，而让学生主动去接近去探寻它们。在上面那几个题组的练习当中，学生不断的推陈出新，由旧有的方法得到新题目的解法，让学生体验了一下知识、解法产生的过程，对于提高学生学习兴趣是非常有帮助的。前苏联教育学家苏霍姆林斯基说：“教师如果不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，而只是不动感情的脑力劳动，就会带来疲倦。”由此看出学习兴趣对于一个学生的重要性，我们要不遗余力来提高学生的兴趣。 利用上面的以此类推、层层推进的方法教学，不仅仅教会了学生解决题目，也教会了学生如何来思考一个问题，就是从我们学过的与之交相近的问题出发，逐渐探索，达到自己的目的。“一个人到学校上学，不仅是为了取得一份知识的行囊，而主要是获得聪明，因此我们主要的智慧努力就不应用在记忆上，而应用在思考上去，所以真正的学校应是一个积极思考的王国，必须让学生生活在思考的世界里。”这是苏霍姆林斯基说过的话，是提高学生思维能力的重要途径，也应是我们每一个人民教师所奋斗的目标。