Question

高一数学函数单调性问题

Answer 1

令x=y=1 有f(1)=f(1)+f(1)=2f(1) 所以f(1)=0设0<x1<1<1/x1有f(1)=f[x1*(1/x1)]=f(x1)+f(1/x1)=0因为f(x1)>0 所以f(1/x1)<0 所以当x>1时，f(x)<0 有f(x1)>f(1/x1)当0<x1<x2<1,则x1=x2( x1/x2), 且0<x1/x2<1 所以f(x1/x2)>0得f(x1)=f[x2(x1/x2)]=f(x2)+f( x1/x2)>f(x2) f(x)是单调递减当0<x1<1<x2则f(x1)>0>f(x2)，f(x)是单调递减当1<x1<x2, 有0<1/x2<1/x1<1 有f(1/x2)>f(1/x1)则f(x2)-f(x1)=-f(1/x2)+f(1/x1)=f(1/x1)-f(1/x2) <0 f(x)是单调递减所以f(x)在(0,正无穷）上是单调递减

Answer 2

令x1＞x2 f（x1)-f(x2)=2*x1 1/2*X1-2*x2-1/2*X2=2*（x1-x2） 1/2x1-1/2x2

=2*(x1-x2) (x2-x1)/2x1*x2=(x1-x2)*(2-1/2x1*x2)

因为0＜x1＜x2＜0.5 所以x1-x2＞0 2-1/2x1*x2＜0

所以f（x1)-f(x2)＜0

f(x)是单调递减函数
第一题，由函数可知定义域为x不等于1，即是定义域为（负无穷大，1）∪（1，正无穷大），又原函数为分式函数，所以要分开来讨论单调区间，首先在(1,正无穷大）任取两个数，分别为a和b,且a>b,所以f(a)-f(b)=(2a/1-a)-(2b/1-b)=[2a*(1-b)/(1-a)(1-b)]-[2b*(1-a)/(1-a)(1-b)]=2(a-b)/[(1-a)(1-b)],因为a>b，所以a-b>0,又a>1,b>1,所以1-a<0,1-b<0,即是（1-a)(1-b)>0,即是2(a-b)/[(1-a)(1-b)]>0,即f(a)-f(b)>0,f(a)>f(b),同理，在（负无穷大，1）上，1-a>0,1-b>0,有（1-a)(1-b)>0,同样得2(a-b)/[(1-a)(1-b)]>0，即f(a)-f(b)>0,f(a)>f(b),所以函数f（x）=2x/1-x的单调性事单调递增，单调区间有两个，有（负无穷大，1）和（1，正无穷大），所以y=f（ax）（a<0）的单调性很简单，是单调递减，只需要看a的正负就可以知道其单调性，与它的数值大小无关，其原理如上， 第二题，因为f（x）是定义在[-1，1]上的增函数，且f（x-1）<f（2x-1），所以-1<x-1<1,且-1<2x-1<1,-1<x<1,三个不等式要同时成立，所以-1<x-1<1解得0<x<2,-1<2x-1<1解得0<x<1,即是0<x<2，0<x<1，-1<x<1要同时成立，所以x的范围为0<x<1,还有f(x)是增函数，所以有x-1<2x-1,解得x>0,所以x>0和0<x<1要同时成立，即为0<x<1,所以x的取值范围为0<x<1
1、解：因为f(x)和g(x)都是奇函数 故：f(-x)=--f(x)，g(-x)=-g(x) 故：对于H(x)=af（x） bg（x） 有：H(-x)=af（-x） bg（-x）=-af（x）-bg（x）=-H(x) 故：H(x)是奇函数 假设x=c∈（0， ∞）时，F(x)=af（x） bg（x） 3取得最大值10 即：F(c)=af（c） bg（c） 3=10 故：H(c)最大值=af（c） bg（c）=7 故：H(x)=af（x） bg（x）在（0，-∞）取得最小值-7 故：函数F(x)=af（x） bg（x） 3在（0，-∞）取得最小值-4 2、解：因为f(x)=ax x 故：1/2*[f（x1） f（x2）]=1/2*[ax1 x1 ax2 x2] f（(x1 x2)/2）=a[(x1 x2)/2] (x1 x2)/2 故：1/2*[f（x1） f（x2）]-f（(x1 x2)/2）=1/4*a*(x1-x2) 故：①当a＞0时，1/2*[f（x1） f（x2）]-f（(x1 x2)/2）=1/4*a*(x1-x2)＞0 故：1/2*[f（x1） f（x2）]＞f（(x1 x2)/2） ②当a＜0时，1/2*[f（x1） f（x2）]-f（(x1 x2)/2）=1/4*a*(x1-x2)＜0 故：1/2*[f（x1） f（x2）]＜f（(x1 x2)/2）