Question

定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和

定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和 证明

Answer 1

很简单啊 我们 设 f(x) =ag(x) + b k(x) g(x) 是个奇函数 k(x)是个偶函数 那么可以得到 f(-x)= bk(x) -ag(x) 从而求的 k(x) = f(x) +f(-x)/2b 同理可以求的 g(x) 下面再考虑 a=b=0情况 这个显然成立 再考虑 a=0 b不为0 a不为0b=0 一样成立 因为始终找的到 k(x) 和g(x)

Answer 2

先看定义域是否关于原点对称，若是 再判定f（-x）与f（x)的关系， 若f（-x）=-f（x)则f（x）是奇函数， 若f（-x）=f（x)则f（x）是偶函数. 若f（-x）≠-f（x)且f（-x）≠f（x)， 则f（x）不是奇函数也不是偶函数.