Question

怎么证明:如果一个数列收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a ？

Answer 1

设数列{an}的子列{a(kn)}（n为k的下标）收敛于a，则对任意的s>0，存在N，使得对任意m>n>N，有：

|a(kn)-a|<s/2.(收敛定义）且

|a(km)-a(kn)|<s/2.(柯西收敛准则）。

取N'=k(N+1)(N+1是k的下标），则当n>N'(>N+1)时：

|an-a|<|an-a(kn)|+|a(kn)-a|<|an-a(kn)|+s/2

而{an}单增，故上式中|an-a(kn)|=a(kn)-an<a(kn)-aN'=|aN'-a(kn)|<s/2.故：

|an-a0|<s.所以{an}也收敛于a。

数列收敛是设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a）。

如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

Answer 2

设数列{an}的子列{a(kn)} （n为k的下标）收敛于a，则对任意的s>0,存在N，使得对任意m>n>N,有
|a(kn)-a|<s/2. (收敛定义）且
|a(km)-a(kn)|<s/2. (柯西收敛准则）。

取 N'=k(N+1) (N+1是k的下标）, 则当 n>N'(>N+1)时
|an-a|<|an-a(kn)|+|a(kn)-a|<|an-a(kn)|+s/2
而{an}单增，故上式中|an-a(kn)|=a(kn)-an<a(kn)-aN'=|aN'-a(kn)|<s/2.故
|an-a0|<s. 所以{an}也收敛于a.