Question

如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,BD=AD，AD与BE交于点F。（1）求证：BF=2AE

如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,BD=AD，AD与BE交于点F。（1）求证：BF=2AE （2）连接CF，若CD=√2，求AD的长。

Answer 1

1证明：
∵BE⊥AC AD⊥BC
∴∠DBF=∠EAF
BD=AD
∠ADB=∠ADC
∴△BDF≌△ADC
∴BF=AC
∵AB=BC,BE⊥AC
∴AC=2AE
∴BF=2AE

2、△BDF≌△ADC
DF=DC=√2
FC=2（直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和）
△AFE≌△CFD(边角边)
AF=FC=2
AD=AF+FD=2+√2

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追问

你第一题的第一个证明的结果不懂

追答

△能看出△BDF≌△ADC吗？————角边角
∴∠DBF=∠EAF（都是对顶角F的余角）
∠ADB=∠ADC=90°
BD=AD

追问

能

追答

那就很容易了，BF、AC是这两个全等三角形对应的边
所以BF=AC（图形画的不是很准确，所以直观上看上去不像）
BE是等腰三角形ABC的高，所以E也是AC的中线
所以AC=2AE

追问

你理解错了，我的意思是∠DBF=∠EAF就这么简单得到了？应该还有一点过程的吧

追答

∵BE⊥AC AD⊥BC
∴∠DBF=∠EAF
这也很直观啊，
BE⊥AC AD⊥BC
所以∠BEA和∠BDA是直角，
而∠DBF和∠EAF是∠AFE和 ∠ BFD这对对顶角的余角 啊，所以相等啊

追问

如果不用全等只用性质的话，行吗？还有第二问全等条件呢

追答

用全等只是为了证明BF=AC，，因为AC=2AE，否则BF和AE是联系不到一起的

追问

哦哦，第二问的全等条件呢？这个能用性质吗？

追答

第二问可以不用全等，用性质就行，因为BE是等腰三角形ABC的高、中线、角平分线（三线合一）
，所以BE上的任意一点到A、C点的距离都相等，所以AF=CF

追问

额，就用性质吧，全等麻烦得要死

追答

嗯嗯，这个可以，这回明白了吗？给个好评，中不，呵呵

追问

额，麻烦再把性质重说一遍，具体点