Question

求解一道数学分析积分不等式题目

Answer 1

这是华中科技大学连续两年考研题的压轴题，事实上系数9最佳可改进为4，此处仅给出9的证明，若有兴趣可以追问

延续上面的方法，如果考虑区间改为[0,1/4],[3/4,1]可将系数改进为8，而这个方法所能得到的最佳结果就是8.

至于如何得到4，并且4就是最佳的系数，需要进一步细致讨论，楼主不妨考虑一下，思考不出来再追问。此问题更一般的结论主要来源于索伯列夫空间

追问

真是太感谢你了！不过4的话我没有想出来，能说一下4是怎样得到的吗？

追答

Answer 2

用分部积分法.
∫^(0,1)x(1-x)f"(x)dx (u= x(1-x) v'= f''(x) u' =1-2x v= f'(x)
=[x(1-x) f'(x) ] (0,1) - ∫^(0,1)(1-2x)f'(x)dx 再设u1= 1-2x v1 = f'(x) (u1)' =-2 (v1)'= f(x)
= 0 - (1- 2x) f(x) (0,1) - 2 ∫^(0,1)f(x)dx
=f(1) +f(0) -2 ∫^(0,1)fx)dx
移项,整理即得:：∫^(0,1)f(x)dx=1/2 (f(0)+f(1))- 1/2 ∫^(0,1)x(1-x)f"(x)
其中:[x(1-x) f'(x) ] (0,1) 表示:函数[x(1-x) f'(x) ] 在x=1的值减去它在 x=0的值.

追问

嗯嗯，很感谢，能说下您是怎么想到x(1-x) f'(x)的吗？