Question

求证积分不等式

对于定积分，求证下列不等式是否成立：
∫ f(t)^4 dt ≥ (∫ f(t)^2 dt)^2
这里f(t)>0恒成立，积分区间任意给定。
假设积分区间是从负无穷到正无穷，写成如下形式：（抱歉之前的不等式我写错了）
lim( c→oo )
( 1/2c ) × ∫(-c,c) f(t)^4 dt ≥ [ (1/2c ) × ∫(-c,c) f(t)^2 dt ]^2
可以证明上面不等式成立吗？谢谢大家！

Answer 1

哥哥，这个不成立吧，我直接把f(t)代成t，结果求出来左边是关于t的5次，右边是6次，t无穷大时，右边大于左边，不等式不成立

追问

有道理，我也试过，但是答案告诉我好像这个不等式成立的。。

Answer 2

可以利用柯西不等式[∫f(x)g(x)]^2dx≤[∫f(x)^2dx][∫g(x)^2dx]，令g(t)=1，则代入柯西不等式有
(∫ f(t)^2 dt)^2=(∫ f(t)^2*1dt)^2≤[∫f(t)^4dt]*(∫1dt)≤∫f(t)^4dt

Answer 3

这个式子就是柯西不等式的变形，你上网搜一下它的证明就可以了，
我印象中是构造了一个二元一次方程，利用德尔塔《0证明的

追问

亲，这个貌似不能用柯西-施瓦茨不等式证明哦

Answer 4

成立 。。