Question

不定积分∫1/1+t^3dt怎么求？

Answer 1

∫1/(1+t^3)dt=∫1/[(1+t)(1-t+t^2)]dt=1/3∫1/[(1+t)dt-1/3∫(t-2)/(1-t+t^2)]dt=ln|t+1|/3-1/3∫(t-2)/[(t-1/2)^2+3/4]dt

=ln|t+1|/3-1/3∫(t-1/2)/[(t-1/2)^2+3/4]dt+1/2∫1/[(t-1/2)^2+3/4]dt

=ln|t+1|/3-1/6ln(t^2-t+1)+1/2arctan(t-1/2)+c

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫1/(1+t^3)dt=∫1/[(1+t)(1-t+t^2)]dt=1/3∫1/[(1+t)dt-1/3∫(t-2)/(1-t+t^2)]dt=ln|t+1|/3-1/3∫(t-2)/[(t-1/2)^2+3/4]dt
=ln|t+1|/3-1/3∫(t-1/2)/[(t-1/2)^2+3/4]dt+1/2∫1/[(t-1/2)^2+3/4]dt
=ln|t+1|/3-1/6ln(t^2-t+1)+1/2arctan(t-1/2)+c