Question

关于线性代数特征向量与对角化的问题

第一个问题 若实对称矩阵a的特征值为1，-1，5 ，已经求出 相应的特征向量为a1，a2，a3（都已经标准化），那么在将a^2对角化时，能不能直接使用矩阵P=（a1，a2，a3）将其对角化为1,1,25的对角矩阵？
第二个问题 a^2的对角矩阵的对角上的数是不是只能是a^2的特征值？
第三个问题 a^2的特征值有没有可能是1,1,25以外的数？
在此求解，不胜感激。

Answer 1

对角线是1,-1,5的对角阵记为D，则(P^-1)AP=D,两边平方并化简可得(P^-1)(A^2)P=D^2。
所以第一个问题的答案是肯定的。
由于A^2相似于D^2,而相似矩阵有相同的特征值，故A^2的特征值就是D^2的特征值，也就是D^2的对角线上的数值，不可能有其它值。

Answer 2

第一个问题：可以。(P^TAP)(P^TAP)=P^TAAP=P^TA^2P。
我想第二问第三问就不用写了吧