Question

已知函数f（x）=x+a/x^2， 若函数在[2，正无穷）上是增函数，求实数a的取值范围。 上海数

已知函数f（x）=x+a/x^2，
若函数在[2，正无穷）上是增函数，求实数a的取值范围。
上海数学不学导数，请不要涉及，谢谢！

Answer 1

取x1>x2≥2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+a(x2+x1)(x2-x1)/(x1x2)^2=(x1-x2)[1-a(x2+x1)/(x1x2)^2]
因为是增函数 所以1-a(x2+x1)/(x1x2)^2>0 a<(x1x2)^2/(x1+x2)
因为x1>x2≥2 所以a≤4 应该是这样的

Answer 2

任取x1 > x2 ≥ 2
∵f(x)在[2, +∞)是增函数
∴f(x1) > f(x2)
即f(x1) - f(x2) = (x1 + a/x1²) - (x2 + a/x2²) = (x1 - x2)(1 - a(x1 + x2)/(x1x2)²) > 0
即1 - a(x1 + x2)/(x1x2)² > 0恒成立
即a < (x1x2)² / (x1 + x2)恒成立
(x1x2)² / (x1 + x2) = x1·x2² / (1 + x2 / x1) > 2·2² / (1 + 1) = 4
∴a ≤ 4

追问

即a 2·2² / (1 + 1) = 4，难道这一步就可使a<4变成4<=4?

追答

a < (x1x2)² / (x1 + x2)恒成立

而(x1x2)² / (x1 + x2)是严格大于4的，所以a是可以等于4的