Question

已知命题P:x1和x2是方程x^2-mx-2=0的两个实根 不等式a^2-4a-2>=lx1-x2l

已知命题P:x1和x2是方程x^2-mx-2=0的两个实根，不等式a^2-4a-2≥lx1-x2l对任意实数m属于[-1,1]恒成立;命题Q:只有一个实数x满足不等式x^2+2√2ax+11a≤0，若命题P是假命题，命题Q是真命题，求a的取值范围

Answer 1

x1和x2是方程x^2-mx-2=0的两个实根，
∴|x1-x2|=√(m^2+8),
不等式a^2-4a-2≥|x1-x2|对任意实数m属于[-1,1]恒成立,
<==>a^2-4a-2≥3,
<==>a^2-4a-5>=0,a>=5或a<=-1.
只有一个实数x满足不等式x^2+2√2ax+11a≤0,
∴△/4=2a^2-11a=0,a=0或11/2，
命题P是假命题，命题Q是真命题，
<==>-1<a<5,且a=0或11/2，
∴a=0,为所求.

Answer 2

1）命题P，x1+x2=m，x1*x2=-2，又有a^2-4a-2≥lx1-x2l≥0，于是有（a^2-4a-2）^2≥(x1-x2)^2=[(x1+x2)^2-4x1x2]=m^2+8成立则原式成立，由M属于[-1,1]要恒成立，于是需（a^2-4a-2）^2≥m^2+8≥9恒成立，解之可得a≥2-√2或a<=-5时成立；P为假命题，故a的范围为-5<=a<=2-√2
2）命题Q，令f(x)=x^2+2√2ax+11a≤0,可知f(x)为连续函数，由只有一个实数x满足，故当且仅当f(x)=0只有一个解时成立，又有f(x)=(x+√2a)^2+11a-2a^2,所以11a-2a^2=0时成立，即a=0或11/2
P为假，Q为真，当a=0时成立