Question

已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）F为其焦点 离心率为e

（1）若抛物线x=1/8y²的准线经过F点且椭圆C经过P（2，3），求此时椭圆C的方程
（2）若A（0，a）的直线与椭圆C相切于M，交x轴于B，且向量AM= μ向量BA 求证 μ+e²=0
求速度！

Answer 1

(1)
抛物线x=1/8y²即y²=8y准线为x=-2 ,
则x=-2经过椭圆左焦点F1，那么c=2

∴F1(-2,0),F2(2,0)
∵椭圆C经过P（2，3）

∴2a=|PF1|+|PF2|
=√[(2+2)²+(3-0)²]+√(2-2)²+(3-0)²]
=5+3=8
∴a=4,b²=a²-c²=16-4=12
∴椭圆C的方程为x²/16+y²/12=1

(2)
A（0，a）的直线与椭圆C相切于M,

设切线斜率为k,k≠0
那么切线方程为y=kx+a
B(-a/k,0)
{y=kx+a
{x²/a²+y²/b²=1
消去y:
x²/a²+(kx+a)²/b²=1
即(a²k²+b²)x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0
Δ=4(a³k)²-4(a²k²+b²)(a⁴-a²b²)=0
∴ a²-b²-a²k²=0

∴ b²+a²k²=a² ,k²=(a²-b²)/a²=c²/a²=e²
设M点横坐标(x0,y0)
x0=-a³k/(a²k²+b²)=-a³k/a²=-ak
∵向量AM= μ向量BA

∴(x0,y0-a)=μ(a/k,a)
∴x0=μa/k
即-ak=μa/k
那么μ=-k²=-e²,
∴μ+e²=0