Question

乘法交换律怎么证明?

证明ab=ba,也就是证明a个b相加等于b个a相加根据数学基本四则运算的定律，乘法本身就不是不证自明的基本公理，它是由加法定义出来的，其符合的规律应该也是从加法的规律证明出来的。但是直到毕业也没见过有谁能证明一下。哪位高人能指点迷津，证明一下这个定律？

Answer 1

第1:前提, 之所以a=a,b=b,是相对于1来说的,a表示的数字大小等于a个1相加,b表示的数字大小等于b个1相加,例如a=4=1+1+1+1,b=5=1+1+1+1+1,

第二:如何证明ab=ba,

    只要证明ab表示的数字有多少个1==ba表示的数字有多少1相等就对了. ab代表的意思是a个b相加, ba代表b个a相加.

第三:证明过程,利用图形

有图形可以看出两边表示的1的个数完全可以重合,也就是说两边表示1的个数是相同的,

Answer 2

用反证法，可否

假设ab不等于ba，则有ab>ba，或者ab<ba

若ab>ba，那么必定存在一个不为0的实数X，使，ab=ba+x，展开相加后，左边<右边，矛盾。

同理，若ab<ba,也矛盾，也就是，不存在一个不为0的实数X，使得ab=ba+X,

故，原命题成立。

纯属讨论。

追问

展开相加是什么意思?怎么就能得出左边<右边?

追答

这句是有点矛盾。。

如果说a个b相加等于b个a相加，默认是相等的了。

那就求极限。或者求同底的对数吧。

同底对数乘法变为加法。这样应该可以。

追问

具体做法呢?怎么求极限?
要么就是lg(ab)=lga+lgb=lgb+lga=lg(ba)?好像也不太对，因为对数的性质应该是根据乘法性质推出来的，这样就会产生循环证明的悲剧。

追答

你参考这个答案吧。对数不一定必须需要乘法来推出：

（1）. h(x)=f(x)-g(x),对h(x)求导，就意味着对f(x)-g(x)求导。即 h'(x)=f'(x)-g'(x), 如果区间每一点x,都有f'(x)=g'(x),一方面意味着f(x)和g(x)具有相同导函数，另一方面有h'(x)=f'(x)-g'(x）=0，根据A：对区间I一切x，h'(x)=0时，h(x)=C,由h(x)=f(x)-g(x),所以f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C.所以，如果对于区间I上每一点x,都有f'(x)=g'(x)，那么f(x)和g(x)之间就只相差一个常数。即f(x)=g(x)+C。

再来看你要的lna+lnb＝lnab证明:d(lnab)/db=1/b;d(lnb)/db=1/b;函数lnab 和lnb 分别对b求导，他们的导函数相等为1/b;根据（1）,有 lnab=lnb+C。肯定有，ln(a*1)=ln1+C，因为ln1=0,得到lna=C.所以有lnab=lnb+C 即为lnab=lnb+lna;

类似的，lnb+lna也可以证明。加法的交换律不用再证明。所以lnab=lnba,得出矛盾。

追问

证明一个基本定律要这么复杂，还要对数加求导？
对数应该就是次方的逆运算，而次方是乘法定义出来的，所以对数也是乘法定义出来的。虽然它的性质不一定用乘法的性质证明，但反过来证明乘法的性质总感觉有些怪怪的……
不过这也提供了一些很好的思路，再考虑考虑……

追答

呵呵。。其实我不喜欢反证法。

但是对于一般的定理，看起来简单，往往证明起来，比较麻烦，譬如很多的公式。

证明一个圆锥体体积或者别的什么公式，是比较麻烦的。所以，有时候，就用反证法了，希望学习进步。。

Answer 3

设a•b=S(矩形面积) 也就是当把a看成行时 b看成列时 根据乘法定义 S(矩形面积）= a•b
当把b看做行时 a看成列时 根据乘法定义 S(矩形面积）=b•a
∴ a•b=b•a 交换律得证

Answer 4

请问你是中学生还是大学生？
证明这个问题需要用到大学数学分析里面《实数理论》的相关知识
如果是中学生的话可以先不考虑这个问题了。（因为中学之前没学过自然数的定义）
大学生的话，我给你写来看看

追问

大学
不过既然这个定律人们已经用了几千年了，应该有用用初等数学证明的过程吧。
以我笨拙的智商是想不出来了，实数理论听说过没看过，也还是有点兴趣的。

追答

不能用初等数学的知识证明，因为初等数学连乘法的定义都没给出来。
我简单的写一下吧：

自然数的定义是这样的：
1、定义0为空集
2、定义1为{0}
3、如果已经定义了n，则定义n+1为{0,1,2,3,……,n}

这样的定义看似不太自然，但其是合理的
其一，集合是数学最基本的概念，它本身是不需要定义的（中学所谓“集合是具有某一类特征的元素构成的组合”这种定义是错误的），而其他所有概念都需要用集合来定义
其二，有公理表明了空集的存在性
其三，这种定义方式用集合的包含关系规定了自然数的全序关系（也就是大小关系，如果自然数a<b，则a对应的集合是b对应的集合的子集）

然后，自然数加法是这样定义的：
对任意的自然数a和b，
1、若b=0，则定义a+b为a
2、若b=1，则定义a+b=a+1（a+1的定义在前面自然数的定义中有提到）
3、若我们已经定义了a+n，则定义a+(n+1)=(a+n)+1

于是我们可以用数学归纳法来证明加法的交换律
首先，由定义，当a=0且b=0时，明天成立
然后对b做归纳，假设当b=n时结论成立，可以推出b=n+1时结论成立
具体过程如下：
若0+b=b+0，则0+(b+1)=(0+b)+1=(b+0)+1=b+1=(b+1)+0（每一个等号都是由定义）
所以，对于任意的b，都有0+b=b+0
接下来再对a进行归纳，类似上面的过程，可以由n+b=b+n推出(n+1)+b=b+(n+1)
于是，对于任意的自然数a和b，都有：a+b=b+a
即加法交换律成立（在自然数的范围内）

由自然数可以很自然地推广到有理数，即任取有理数a和b，都有a+b=b+a（过程省略）

最后，推广到实数集：

实数加法是这样定义的：
对任意的实数a和b，定义a+b为：
a+b=sup{x+y| x和y是有理数}
这里sup表示上确界的意思

由上确界的定义，可以证明：任取实数a和b，都有a+b=b+a

于是，加法交换律成立

前面写的有点问题。实数加法的定义应该是a+b=sup{x+y|x＜a，y＜b，x，y是有理数}。实数乘法的定义也要做类似修改。之前打字打掉了一行，真汗。。。

追问

看得不是很明白。
将0定义为空集，没看出1的定义是什么意思。
这是加法的证明。具体到乘法应该怎么证明呢？
实数理论的乘法是怎样定义的？应该也是根据加法来的吧？即a*b=a+a+a+...+a（加b次a）？
不过这体现的是数在现实生活中的意思，不知实数理论给出定义没有。
然后怎样证明它的交换律成立？

追答

1的定义就是{0}——只含0这一个元素的集合（因为0已经被定义了）
类似的，n的定义是{0,1,2,……,n-1}
直观的说，n的集合里有0到n-1这n个元素

乘法交换律也是一样，首先给出自然数乘法的定义

设a,b是自然数，定义如下：
1、若b=0，则定义ab=0
2、若b=1，则定义ab=a
3、若已经定义了an，则定义a(n+1)=an+a

这样，类似加法，可以用数学归纳法证明在自然数范围内ab=ba
再推广到有理数、实数的范围内就可以了

实数乘法的定义：
设a,b是（正）实数，定义ab=sup{xy| x<a,y<b,x,y是有理数}