Question

关于二重积分对称性

我们老师讲对称性的时候说看积分区域关于什么对称。如果是关于x轴对称。看被积函数是关于y的奇函数还是偶函数。如果是奇函数，积分就为0，如果是偶函数，积分就是一半区域积分的2倍。可是如果是积分区域既关于x轴又关于y轴对称呢。怎么看。比如对于积分区域为一个半径1的圆。被积函数是x·sin(x^2+y^2)。它不是关于x的奇函数而关于y的偶函数么。完全相反啊!头痛。

Answer 1

这个二重积分对称型，二重积分对称性定理：积分区域D关于原点对称，f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数，则∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)时）
或
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分），（当f关于x,y的偶函数，即f(-x,-y)=f(x,y)时）

换句话说，必须是同时关于X，Y的奇偶函数

追问

你的意思是积分区域既关于x也关于y对称的必须看被积函数是否同时为x,y的奇函数（或偶函数）才能用对称性来解决积分？所以我上面那个例子没办法用对称性化简求解？？

追答

结果是0，你看错了把

追问

我看错什么？上面的例子我并不知道答案。不过为什么答案是0??

Answer 2