Question

已知f(x)=ax的三次方+3x+1,(1)当a=-1时,求f(x)的极值及零点个数

Answer 1

已知f(x)=ax³+3x+1,(1)当a=-1时,求f(x)的极值及零点个数
解：a=-1时f(x)=-x³+3x+1；
令f '(x)=-3x²+3=-3(x²-1)=-3(x+1)(x-1)=0
得驻点x₁=-1，x₂=1；x₁是极小点，x₂是极大点；
极小值f(x)=f(-1)=1-3+1=-1；极大值f(x)=f(1)=-1+3+1=3；
函数图像三次穿过x轴，因此有三个零点。

追问

（2）若f(x)在R卜一单调递增，求实数a的取值范围（3）若f(x)仅有一个零点求实数a的取值范围

追答

(2).若f(x)在R上一直单调递增，求实数a的取值范围（3）若f(x)仅有一个
零点，求实数a的取值范围
解：(1).f(x)=ax³+3x+1，由于f '(x)=3ax²+3，当a≧0时恒有f '(x)=3ax²+3>0，
即f(x)在R上单调增；
(2)。令f '(x)=3ax²+3，得x²=-1/a；当a0(a0(a<0)，有点讨厌，你有时间自己解解试试，
解出来了，再加上a≧0，就可确定使f(x)只有一个零点的a的取值范围。】