Question

已知函数f(x)=x的三次方-3ax （1）当a=1时，求f（x）的极小值

2）若直线x+y+m=0对任意的m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围

Answer 1

第一题
求导f'(x)=3x^2-3
令f'(x)=0，即3x^2-3=0，函数f（x）有极值
3x^2=3， x^2=1， x=+1或-1
当x=-1时，f（x）有极大值

所以当x=+1时，f（x）有极小值
f(+1)=1-3=-2

第二题
由x+y+m=0得 y=-x-m，k=-1
因为f(x)=x³-3ax，求导得 f‘(x)=3x²－3a ，∵是对于任意的m都不是切线，其实就是说导数得到的斜率中没有k=-1，也就是说对于任意的x 方程 3x²－3a=-1无解，3x²=3a-1,无解 则3a-1＜0，所以a＜1/3

Answer 2

(1)f'(x)=3x^2-3=0
当x=√3时，f（x）有极小值
f(√3)=3√3-3√3=0

（2）
由题得，
f'(x)=3x^2-3a≠- 1
x^2≠-1/3+a
因为x^2≥0
-1/3+a<0
a<1/3