Question

证明,定义在对称区间上的任何函数均可表示为一个奇数与一个偶

Answer 1

设 f(x) 是任意函数。

存在性证明：做g(x) = [f(x)+f(-x)]/2，h(x) = [f(x)-f(-x)]/2

易验，以上两函数分别是偶函数和奇函数，且f(x) = g(x)+h(x)

唯一性证明：设f(x) = g1(x)+h1(x)

其中g1(x) 与 h1(x) 分别是偶函数和奇函数，则有

f(-x) = g1(-x)+h1(-x) = g1(x)-h1(x)

由 (*) 和 (**) 可解得

g1(x) = [f(x)+f(-x)]/2，h1(x) = [f(x)-f(-x)]/2

唯一性得证。

函数的近代定义

是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

Answer 2

设f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2，
令h(x)=[f(x)+f(-x)]/2，g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则f(x)=f(x)+g(x)
由g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2=[f(-x)-f(x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=g(x)
故g(x)是奇函数，
同理可知h(x)是偶函数，
故f(x)可表示为一个奇数与一个偶函数的和，
即定义在对称区间上的任何函数均可表示为一个奇数与一个偶函数的和。