Question

《实变函数》证明题。

知道的大神帮帮忙，谢谢了





Answer 1

16 sinx是R上连续函数，同时sin(π/2)=1,sin(-π/2)=-1，取闭区间[-π/2，π/2]根据介值定理，sinx可以取得[-1,1]上任何值，也即[-1,1]上任意值在[-π/2，π/2]都有原像，自然在R上都有原像，所以sinx是R→[-1,1]的满射

17显然∪E[f≥c+1/n]⊂E[f>c]（∪从n=1到∞）

又对∀x∈E[f>c],令α=f(x)-c>0，∃N=[1/α]+1([表示取整值])，c+1/N≤f(x),故x∈E[f≥c+1/N]，所以x∈∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞），由x的任意性，E[f>c]⊂∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞），故E[f>c]=∪E[f≥c+1/n]（∪从n=1到∞）。

18.En=[-n,n]∩E是渐张列，即E1⊂E2⊂···⊂En⊂···，根据定理：

有：

19.