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F’(x)=1-1/x^2
切线过(n,f(n)),即
(1-1/n^2)*n+b=n+1/n
B=2/n
切线方程为y=(1-1/n^2)x+2/n
An(n+1,n+1+1/(n+1)) Bn(n+1,(1-1/n^2)(n+1)+2/n)
An=|AnBn|=| (1-1/n^2)(n+1)+2/n –(n+1+1/(n+1)) |=1/n^2*(n+1)
sn=1/2+1/(2*2*3)+1/(3*3*4)+…1/(n^2*(n+1))<1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+…1/(n*(n+1))=1-1/(n+1)
命题得证
切线过(n,f(n)),即
(1-1/n^2)*n+b=n+1/n
B=2/n
切线方程为y=(1-1/n^2)x+2/n
An(n+1,n+1+1/(n+1)) Bn(n+1,(1-1/n^2)(n+1)+2/n)
An=|AnBn|=| (1-1/n^2)(n+1)+2/n –(n+1+1/(n+1)) |=1/n^2*(n+1)
sn=1/2+1/(2*2*3)+1/(3*3*4)+…1/(n^2*(n+1))<1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+…1/(n*(n+1))=1-1/(n+1)
命题得证
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