Question

已知数列{a n }的前n项和是S n ，a 1 =3，且a n+1 =2S n +3，数列{b n }为等差数列，且公差d＞0，b 1 +b

已知数列{a n }的前n项和是S n ，a 1 =3，且a n+1 =2S n +3，数列{b n }为等差数列，且公差d＞0，b 1 +b 2 +b 3 =15．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若 a 1 3 + b 1 ， a 2 3 + b 2 ， a 3 3 + b 3 成等比数列，求数列 { 1 b n b n+1 } 的前n项和T n ．

Answer 1

（Ⅰ）由a n+1 =2S n +3，a n =2S n-1 +3（n≥2） 得：a n+1 -a n =2a n ∴a n+1 =3a n （n≥2） ∴ a n+1 a n =3(n≥2) （2分） a 2 =2 a 1 +3=9， a 2 a 1 =3 ，（3分） ∴ a n+1 a n =3(n∈ N * ) ∴a n =3 n （4分） （Ⅱ）由b 1 +b 2 +b 3 =15，得b 2 =5（5分） 则b 1 =5-d，b 3 =5+d， a 1 3 + b 1 =6-d， a 2 3 + b 2 =8， a 3 3 + b 3 =14+d 则有：64=（6-d）（14+d）即：d 2 +8d-20=0（6分） d=2或d=-10∵d＞0∴d=2（7分） ∴b n =b 1 +（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1（8分） ∴ T n = 1 b 1 b 2 + 1 b 2 b 3 +…+ 1 b n b n+1 = 1 3×5 + 1 5×7 +…+ 1 (2n+1)(2n+3) = 1 2 ( 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 +…+ 1 2n+1 - 1 2n+3 )= 1 2 ( 1 3 - 1 2n+3 )= n 6n+9 （10分）