Question

（2007?芜湖）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若sin∠C=1213，B

（2007?芜湖）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若sin∠C=1213，BC=12，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB=

AD

BD

，cos∠DAC=

AD

AC

，
又∵tanB=cos∠DAC，
∴

AD

BD

=

AD

AC

，
∴AC=BD．

（2）解：在Rt△ADC中，sinC＝

12

13

，
故可设AD=12k，AC=13k，
∴CD=

AC2?AD2

=5k，
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12，
∴18k=12，
∴k=

2

3

，
∴AD=12k=12×

2

3

=8．