Question

如图，∠A=45°，∠BCD=135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD=∠P

如图，∠A=45°，∠BCD=135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD=∠P；③∠A=∠PEB+∠PFD．其中正确的有（　　）个．A．0B．1C．2D．3

Answer 1

解：如图，延长EP交AB于G，
∵∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，
∴∠1=∠AEP=

1

2

∠AEB，∠2=∠PFD=

1

2

∠AFD，
∵∠BCD=135°，
∴∠BCF=180°-135°=45°，
在△AEG中，∠EGB=∠A+∠AEP=45°+∠1，
在△BCF中，∠EBG=∠AFD+∠BCF=2∠2+45°，
在△BEG中，∠1+∠EGB+∠EBG=180°，
即∠1+45°+∠1+2∠2+45°=180°，
解得∠1+∠2=45°，
在△GFP中，∠EPF=∠EGB+∠2=45°+∠1+∠2=45°+45°=90°，
∴EP⊥FP，故①正确；
∠AEB+∠AFD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=90°=∠P，故②正确；
∵∠PEB+∠PFD=∠1+∠2=45°，
∴∠A=∠PEB+∠PFD=45°，故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故选D．