Question

已知函数f（x）=1+loga（x-1）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx+ny=1，则mn的最大

已知函数f（x）=1+loga（x-1）（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx+ny=1，则mn的最大值为______．

Answer 1

∵x=2时，y=1，
∴函数y=log2（x-1）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，1）即P（2，1），
∵点P在直线mx+ny=1上，
∴2m+n=1，
∵mn有最大值
∴mn＞0，
由基本不等式可得，1=2m+n≥2

2mn

∴mn≤

1

8

当且仅当2m=n=

1

2

即m=

1

4

，n=

1

2

时取等号
故答案为：

1

8