Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C上

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l的斜率为2且经过椭圆C的左焦点．求直线l与该椭圆C相交的弦长．

Answer 1

（Ⅰ）因为椭圆C的左焦点为F₁（-1，0），所以c=1，
点P（0，1）代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1，得

1

b2

＝1，即b=1，
所以a²=b²+c²=2，所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2＝1．
（Ⅱ）直线l的方程为y=2x+2，

x2 2 +y2＝1 y＝2x+2

，
消去y并整理得9x²+16x+6=0，
∴x1+x2＝?

16

9

，x1x2＝

6

9

，
|AB|＝

1+k2

|x1?x2|
=

5

(x1+x2)2?4x1x2

=

10 2

9

．
∴直线l与该椭圆C相交的弦长为

10 2

9

．